SUCESIONES MATEMATICAS

Series y sucesiones, en matemáticas, sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.

 Una sucesión se representa como a₁, a₂..., a_n... Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a₁ es el primer término, a₂ el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece, es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una sucesión infinita definida por la fórmula a_n = n. La fórmula a_n = n² define la sucesión 1, 4, 9, 16... La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., que se conoce como sucesión de Fibonacci.

Entre los tipos más importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritméticas (también conocidas como progresiones aritméticas), en las que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante, y las sucesiones geométricas (también conocidas como progresiones geométricas), en las que la razón entre dos términos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de un cierto capital. Si el dinero se invierte al interés simple del 8%, entonces en n años la cantidad de dinero inicial P se ha convertido en a_n = P + n × (0,08)P. El mismo producto (0,08)P se añade cada año, por lo que las cantidades a_n forman una progresión aritmética. Si el interés es compuesto, las cantidades ahorradas forman una progresión geométrica, g_n = P × (0,08)ⁿ. En ambos casos, está claro que a_n y g_n llegarán a ser mayores que cualquier número entero imaginable.

Sin embargo, los términos de una sucesión no tienen por qué crecer siempre. Por ejemplo, a medida que n crece, la sucesión a_n = 1/n se acerca a 0, que es su límite; por otra parte, b_n = A + B/n tiende hacia A. En este tipo de sucesiones, existe un número finito L tal que, dada una tolerancia e, los valores de la sucesión difieren de L en una cantidad menor que e cuando n es lo suficientemente grande. Por ejemplo, en el caso de la sucesión 2 + (-1)ⁿ/2n, el límite es L = 2. Incluso si se toma una e tan pequeña como 1/10.000, se puede comprobar que para n mayores que 5.000 la diferencia entre a_n y L es menor que e. El número L se denomina límite de la sucesión, y aunque algunos de los términos de la sucesión son mayores y otros menores que L, los términos finalmente se agrupan alrededor de L, cada vez más cerca. Cuando una sucesión tiene un límite L, se dice que ‘converge’ hacia L. Para la sucesión a_n, por ejemplo, esto se escribe como

 

que se lee “el límite de a_n cuando n tiende hacia infinito es L”.

 

 

SERIES:  El término ‘serie’ designa la siguiente suma: a₁ + a₂ + ... + a_n, o a₁ + a₂ + ... + a_n +..., que es la suma de los términos de una sucesión. Una serie es finita o infinita dependiendo de si la correspondiente secuencia de términos es finita o infinita.

La sucesión s₁ = a₁, s₂ = a₁ + a₂, s₃ = a₁ +a₂ + a₃,..., s_n = a₁ + a₂ + ... + a_n, ..., se denomina sucesión de sumas parciales de la serie a₁ + a₂ + ... + a_n +... La serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge. Una serie de términos constantes es aquélla en la que los términos son números; una serie funcional es aquélla en la que los términos son funciones de una o más variables. Un caso especial es la serie de potencias, que es la serie a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + ... + a_n(x - c)ⁿ +..., en la que la c y la a son constantes. Para la serie de potencias, el problema es encontrar los valores de x para los que la serie es convergente. Si la serie converge para una cierta x, entonces el conjunto de todas las x para las que la serie converge es un punto o un intervalo. La teoría básica de la convergencia fue estudiada alrededor de 1820 por el matemático francés Augustin Louis Cauchy.

La teoría y el uso de las series infinitas son importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas, tanto puras como aplicadas.